Această animație compară două cadre matematice de calcul — cadrul geocentric, într-o variantă simplificată, bazată pe principiile geometrice din Almagest, și cadrul heliocentric bazat pe efemeridele JPL DE440s — pentru 20 martie 2025, la Ecuator, longitudine 0°, între orele solare locale 06:00 și 18:00. În partea inferioară sunt reprezentate umbrele unui gnomon vertical de un metru: turcoaz pentru GEO și portocaliu pentru HELIO.

Cum sunt calculate umbrele? Pentru fiecare moment, se stabilește direcția din care ajunge lumina Soarelui la observator: cât de sus se află Soarele deasupra orizontului și în ce direcție se vede. Din această poziție se determină unde cade, pe terenul orizontal, umbra vârfului gnomonului. Distanța dintre baza gnomonului și acel punct reprezintă lungimea umbrei. Direcția dintre ele stabilește unghiul față de linia est–vest. Astfel, lungimea și unghiul sunt calculate din poziția Soarelui, nu alese după aspectul desenului.

Cum este determinată poziția Soarelui în cadrul GEO? Calculul folosește o variantă idealizată și simplificată a cadrului geocentric al lui Ptolemeu, descris în Almagest, în care Pământul este în repaus, iar Soarele se deplasează în jurul acestuia. Echinocțiul este momentul în care centrul Soarelui traversează planul ecuatorului ceresc, iar declinația sa devine zero. În această variantă, traversarea coincide cu amiaza solară, la ora 12:00. Declinația utilizată variază cu 0,016° pe oră: la 06:00, Soarele se află la 0,096° sud, iar la 18:00, la 0,096° nord de ecuatorul ceresc. În aceste condiții, pentru observatorul aflat la Ecuator, Soarele trece prin zenit la ora 12:00, iar lungimea umbrei gnomonului devine zero.

În reprezentarea HELIO sunt ilustrate rotația Pământului și revoluția sa în jurul Soarelui, cu axa terestră înclinată la aproximativ 23,44°. Poziția Soarelui utilizată în calcul provine din efemeridele JPL DE440s: date astronomice care permit determinarea pozițiilor corpurilor Sistemului Solar la un moment ales. JPL înseamnă Jet Propulsion Laboratory, laborator NASA administrat de Caltech. Pe această bază se calculează poziția aparentă a centrului Soarelui văzut de observatorul aflat la Ecuator, la longitudine 0°.

Ambele calcule folosesc un teren orizontal, un gnomon vertical de un metru și aceeași refracție atmosferică standard, pentru 10 °C și 1010 hPa. Comparația este sincronizată deliberat la aceeași oră solară locală, 12:00, pentru a examina simultan rezultatele celor două calcule. Refracția reprezintă devierea luminii în atmosferă, care face Soarele să apară mai sus decât poziția sa geometrică și modifică lungimea umbrei. În aproximația atmosferică folosită, ea nu schimbă orientarea umbrei față de direcția est–vest.

În jurul amiezii, diferența de orientare devine pronunțată. Unghiul HELIO crește prin 15°, 30° și 45°, ajunge la 90° la 12:00, apoi scade. La amiaza solară, umbra HELIO este orientată spre sud, pe axa nord–sud, perpendicular pe direcția est–vest, și măsoară aproximativ 0,887 mm. Umbra GEO are atunci lungimea zero, iar unghiul este afișat convențional ca 0°. O umbră nulă nu are însă o direcție care să poată fi măsurată. Animația face o pauză de o secundă pentru observarea celor două rezultate.

Tabelul prezintă orele solare și lungimile calculate la valorile unghiulare marcate pentru HELIO. Pentru lizibilitate, componentele nord–sud ale ambelor umbre sunt amplificate de 200 de ori, iar lungimile sunt desenate pe o scară comprimată. Valorile numerice afișate sunt cele calculate, fără amplificare. Calculul urmărește centrul discului solar; dimensiunea aparentă a Soarelui produce în realitate penumbră, astfel încât valorile foarte mici nu trebuie confundate cu măsurători ale unei umbre perfect delimitate.

PTOLEMEU și linia dreaptă a umbrei la echinocțiu

În Almagest (Cartea I, Capitolul 5), Ptolemeu formulează condiția geometrică a coliniarității umbrelor la echinocțiu:

„Dacă Pământul nu s-ar afla exact în planul ecuatorului ceresc, ci ar fi deplasat spre nord sau spre sud, rezultatul ar fi că la echinocții umbra gnomonului la răsărit NU ar mai forma o linie dreaptă cu umbra sa la asfințit într-un plan paralel cu orizontul.”

Animația ilustrează exact această deosebire de comportament între cele două construcții:

• În construcția GEO, în care Soarele trece prin zenit la amiaza solară, traiectoria vârfului umbrei este aproape rectilinie, pe direcția generală est–vest. Umbra se scurtează până la lungimea zero la ora 12:00, când unghiul este afișat convențional ca 0°, apoi se alungește spre est.

• În construcția HELIO, calculată din efemeridele astronomice, umbra nu urmează nicio linie dreaptă, ci se rotește continuu în sens antiorar de la răsărit până la asfințit:

  1. Dimineața (06:00 – 11:49): Umbra pornește spre vest (uşor înclinată spre nord-vest, cu unghi sub 1°), scade ca lungime și se rotește treptat spre sud (unghiul crește la 15°, 30°, 45°, 90°).
  2. La amiaza solară (12:00:00): Rotația trece de punctul critic; umbra ajunge perpendiculară pe axa est–vest, fiind orientată la 90° spre sud, cu o lungime de 0,887 mm.
  3. După-amiaza (12:01 – 18:00): Umbra își continuă neabătut rotirea antiorară, trecând spre est-sud (unghiul scade de la 90° spre 0,14°), alungindu-se din nou spre asfințit, pe o direcție complet diferită de cea de dimineață.

Astfel, simularea arată că linia perfect dreaptă descrisă de Ptolemeu apare în reprezentarea geometrică idealizată GEO. În modelul HELIO, vârful umbrei nu urmează o linie perfect dreaptă, ci efectuează o rotație continuă în sens antiorar, de la răsărit până la asfințit. La amiază, umbra are o lungime de 0,887 mm și este orientată spre sud, perpendicular pe axa est–vest, la un unghi de 90°. Totuși, experimentele reale cu gnomonul evidențiază un traseu aparent rectiliniu al vârfului umbrei: diferențele ilustrate de simulator sunt atât de mici încât nu pot fi observate cu ochiul liber în condițiile experimentului.

Varianta GEO idealizată din animație fixează, prin alegerea parametrilor, declinația zero la amiaza solară, ora 12:00, când Soarele traversează meridianul observatorului. În realitate, anularea declinației nu are loc la o oră solară fixă: momentul diferă de la un an la altul și, exprimat în ora solară locală, depinde și de longitudinea observatorului. Declinația se modifică permanent pe parcursul anului, iar ritmul variației sale nu este constant.

Pentru data și observatorul aleși, calculul HELIO bazat pe efemeridele JPL DE440s, NASA/Caltech, indică declinația zero la 08:54:46, ora solară locală — 09:02:10,337 UTC. Diferența față de momentul anulării declinației calculat din centrul Pământului este de numai 0,014 secunde.

Diferențele de orientare și lungime dintre cele două modele, reale și corect calculate, rămân mult sub pragul de observare al unui experiment cu gnomon, astfel încât traseul aparent rectiliniu al vârfului umbrei, descris de Ptolemeu, se confirmă practic în ambele modele și în observațiile reale.

Experimentul satelitului francez MICROSCOPE a comparat accelerațiile unor corpuri de probă cu mase și compoziții diferite, aflate în cădere liberă pe orbita Pământului. Rezultatul final, publicat în 2022, nu a evidențiat o diferență între accelerațiile lor, în limitele unei precizii relative de ordinul 10⁻¹⁵. Acesta susține universalitatea căderii libere: în aceleași condiții, un corp nu cade mai accelerat doar pentru că este mai greu sau este alcătuit dintr-un material mai dens. Metoda, rezultatele și incertitudinile măsurătorilor sunt prezentate în articolul original al echipei de cercetare: Studiul MICROSCOPE.

Lumina oferă un exemplu complementar. Fotonul are masă de repaus zero, dar traiectoria luminii este deviată gravitațional în apropierea Soarelui.
Prin urmare, existența unei mase de repaus nu este o condiție necesară pentru manifestarea influenței gravitaționale.

Aplicat relației dintre Soare și Pământ, principiul universalității căderii libere arată de ce explicația „Pământul se învârte în jurul Soarelui fiindcă este mai puțin masiv decât acesta” este insuficientă. În aproximația în care Pământul este tratat drept corp de probă în câmpul solar, un alt corp plasat în aceeași poziție, cu aceeași viteză inițială, ar urma aceeași traiectorie chiar dacă ar avea altă masă sau altă compoziție. Distanța și viteza inițială rămân esențiale pentru această comparație.

Observația experimentală, descrierea matematică a mișcării și explicația naturii fundamentale a gravitației trebuie deosebite. MICROSCOPE testează universalitatea căderii libere, iar devierea luminii arată că influența gravitațională se manifestă și asupra fotonilor. Aceste rezultate sunt compatibile cu descrierea geometrică a gravitației, fără să stabilească singure mecanismul ei fundamental. Ele oferă un motiv pentru examinarea critică a explicațiilor intuitive prea simple. Dacă mișcarea de cădere liberă nu depinde de masa proprie a corpului de probă, iar lumina este influențată gravitațional deși are masă de repaus zero, cât explică, de fapt, simpla afirmație că Pământul se învârte în jurul Soarelui „fiindcă este mai ușor decât el”?